くまＧさん、ではさっそくご質問にお答えさせていただきますね。
まず、お車の引越しの事を『乗用車の陸送』と呼び、多くの陸送専門業者があります。
これは、インターネットで『陸送業者』などで、検索していただければたくさん出てきます。
その費用については、『車種』、『移動距離』等に伴い、料金設定をされていますので、まずは何社かに料金を問い合わせてみられれば良いかと思います。たぶん、すぐに答えてくれるはずですよ。
また、多くの引越し業者でも、陸送業者を紹介、手配しています。必要な連絡や手続きを引越し業者がくまＧさんの代わりに行ってくれますので、窓口を１つにできるという意味では、面倒くささが省けるかもしれませんね。
お母様のお荷物の引越しもあるようでしたら、陸送業者に直接お問い合わせをされた金額を頭に入れておいて、引越し業者からも陸送の見積もりをとられてみられてはいかがでしょうか？
陸送を依頼される際の注意点としてはまず、お車を預けてから、引越し先での受け取りに数日程度（もちろん距離などによって変わります）は必要ですので、日程には余裕を持っていただきたいと思います。
またこれは、陸送業者によって変わりますので、強いご希望がある場合には、しっかりと確認されておくことをお勧めします。
また、車を陸送業者に預ける際には、必ず傷の確認があるはずです。後々のトラブルを避けるためにも、これはしっかりとされておいたほうが良いですね。
ご質問にあった、移転先での注意点・・は特にないかと思いますが、車のナンバー変更のためには、先に移転先での車庫証明が必要となっていますので、駐車場がない場合には、確保が必要です。詳しくはこちらを参考にして下さい。
http://www.mlit.go.jp/jidosha/kensatoroku/toroku/trk03.htm
いずれにしましても、サービス内容や費用については、各社様々だと思います。しっかりとご納得の上で、陸送業者を選択するためにも、何社かから見積もりを取られて、比較検討をされてみるべきだと思います。
お荷物の引越しがある場合はもちろん、陸送だけの場合でも、当サイト内の一括見積もりサービスをご利用いただけます。是非ご利用下さい！
くまＧさんのお引越しが無事に済まれることを心より願っております。