ご質問にお答えしますね。
実に頭の痛い話です。ご心配なお気持ちは良くわかります。
ただ、たんぽぽさんがおっしゃられている条件下で契約だけを進めようとすると、全てのリスクをたんぽぽさんが負うことになります。
ただし契約はすることは決して不可能ではないのです。例えば・・・、
１．同一県内での可能性がある場所で、最も遠い所と仮定して見積りを取り、業者の言い値に同意する。
２．日程は、適当な日を押さえておくが、変更が生じた場合には、次に希望する日程に引越しを行える保証はない。（あくまでも業者が空いている日で行う）
このような事となり、結局は今の状態での契約には何の意味も無いこととなってしまうのです。
ではどうすればよいのでしょう？
まず、ご質問内容に書かれていますが、引越しすること自体が仕事上（会社）の都合で、日程などの詳細が決められないことの理由もそうである場合には、会社に全てのリスクを負ってもらうことです。たんぽぽさん個人ではできることに限りがあるのです。
４月になれば、トラックの空きは必ず出てきます。生じる費用の負担も含め、会社の同意をもらっておきましょう。
また、引越し業者探しを会社に依頼するのも一つの手でしょう。引越しをするのが会社の都合であれば、たんぽぽさん個人がここで頭を痛める必要はないとも言えます。
転勤についての様々なお話は転勤引越しのページで詳しく説明していますので、是非参考にしてください。
最後に仕事上とは言え、個人の都合で日程が決められない場合は、やはりどうしようもありません。先にもお答えしていますが、当サイト内にもある、一括見積りを利用し、『数打ちゃ当たるかも・・』の考えで、徹底的に当たるしかありません。
色々とお話しましたが、やはり引越しする条件を確定させることを最優先しないと、完全な結論は出てきません。本当にどうしようもない時期なのです。
大変ですが、頑張ってくださいね！