ぺーちゃん さんご質問有難うございます。早速ですが…
結論から言うと、「仏滅」はあまり人気がありません。そのかわりに引越し料金が、安くなるというメリットはあります。
ただ、ご質問内容を拝見させて頂いただけですが、その引越し業者さんに“強引さ”を感じてしまいました。そこが『騙された気持ち…』に繋がっているのではないでしょうか？
確かに、引越しのシーズン時期はどの会社も忙しく、トラックの空きがない状況になってしまいますが、今の（1月中旬）段階から、その時期の予定がほとんどうまってるというのも、疑問に思います。（マンションなどの一斉入居があれば別ですが…）
私が引越し会社に在籍していたころは、1月下旬～2月の上旬くらいにならないと、シーズン料金が決まら無かった為、見積もりすら御断りしていました。
ぺーちゃん さんが改めて話をしても、納得出来ないような引越し業者であれば、いくら紹介があったからといっても、引越しを任せるべきではありません。
☆最低２社は相見積もりを☆にも書いていますが、相見積もりをされたほうがよろしいのではないでしょうか？それで、信頼出来る会社に依頼するべきです。
「仏滅」の引越しがダメだと言うことはありません。あくまでも気持ちの問題ですから…
しかし、お客様がそれを望まないのであれば、当然引越しの日はそれ以外の日に設定すべきだと思います。
ぺーちゃん さんがお望みの回答が出来たかどうかわかりませんが、よいお引越しになるように願っております。